Épicycles de Fourier
Des cercles qui tournent, accrochés les uns aux autres, redessinent n'importe quel contour.
- Choisis un exemple à droite de l'animation, ou dessine ta propre forme plus bas.
- Fais varier le nombre d'épicycles et suis le calcul, avec les vraies valeurs, dans le processus mathématique.
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chaîne de \(x(t)\), lue horizontalement chaîne de \(y(t)\), tournée d'un quart de tour et lue verticalement
Dessine ta forme
À la souris ou au doigt, dans le cadre ci-dessous. Sa décomposition apparaît ensuite dans le processus mathématique.
Le processus mathématique, pas à pas
Chaque étape est calculée en direct dans ton navigateur : les nombres et les courbes ci-dessous sont ceux qui pilotent l'animation.
1.Du dessin au signal
On parcourt le contour et on relève \(N\) points successifs \(P_n = (x_n, y_n)\), pour \(n = 0, \dots, N-1\). À chaque point on associe un instant \[ t_n = \frac{2\pi n}{N} \in [0, 2\pi[ \] La forme devient ainsi deux signaux périodiques : l'abscisse \(x(t)\) et l'ordonnée \(y(t)\). Chacun sera décomposé séparément.
Coordonnées en pixels, mesurées depuis le centre du dessin, axe \(y\) vers le haut. Le signal étant périodique, la fin du tracé est implicitement reliée à son début.
Le point \(P(t)\) parcourt le contour ; ses deux coordonnées, tracées en fonction de \(t\), forment les signaux \(x(t)\) et \(y(t)\).
2.La transformée de Fourier discrète
Pour chaque fréquence \(k\), on calcule le coefficient complexe
\[ c_k = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x_n \, e^{-i k t_n} = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x_n \, e^{-2i\pi k n / N} \]Il compare le signal à une rotation qui fait \(k\) tours pendant que le point parcourt le contour : son module \(|c_k|\) mesure l'amplitude de cette rotation dans le signal, son argument \(\arg c_k\) sa phase.
Le signal étant réel, \(c_{N-k} = \overline{c_k}\) : les fréquences \(k\) et \(N-k\) (c'est-à-dire \(-k\)) se regroupent en un seul cosinus. On obtient la série de Fourier du signal :
\[ x(t_n) = a_0 + \sum_{k=1}^{N/2} A_k \cos(k\,t_n + \varphi_k) \] \[ a_0 = c_0, \quad A_k = 2\,|c_k|, \quad \varphi_k = \arg c_k \]L'égalité est exacte aux \(N\) points : la décomposition ne perd aucune information. Le terme constant \(a_0\) est la position moyenne du contour.
\(A_k\) de \(x(t)\), vers le haut \(A_k\) de \(y(t)\), vers le bas termes écartés
3.La décomposition en sinusoïdes
Triés par amplitude décroissante, les termes de la série forment la décomposition du signal : il est exactement la somme de la constante \(a_0\) et de ces cosinus.
En haut, le signal ; en dessous, ses plus grandes composantes \(A_k \cos(k t + \varphi_k)\), toutes à la même échelle verticale.
| Rang | \(k\) | \(c_k\) | \(A_k\) | \(\varphi_k\) (rad) | Énergie |
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4.Des sinusoïdes aux épicycles
Un terme \(A_k \cos(k t + \varphi_k)\) est la projection d'un point qui tourne sur un cercle de rayon \(A_k\), à raison de \(k\) tours par période, en partant de l'angle \(\varphi_k\) :
\[ A_k \cos(k t + \varphi_k) = \operatorname{Re}\left( A_k \, e^{i (k t + \varphi_k)} \right) \]Pour additionner les termes, on accroche chaque cercle au bout du précédent : c'est la chaîne d'épicycles. Le bout de la chaîne se trouve exactement à la valeur de la somme.
Dans l'animation, la chaîne de \(x(t)\) est lue horizontalement ; celle de \(y(t)\) est tournée d'un quart de tour pour être lue verticalement. Le point qui combine ces deux lectures trace le dessin.
5.Reconstruction progressive
En ne gardant que les \(K\) termes les plus grands de chaque coordonnée, on obtient la meilleure approximation à \(K\) termes au sens des moindres carrés. L'identité de Parseval répartit la variance du signal entre les termes :
\[ \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \left( x_n - a_0 \right)^2 = \sum_{k=1}^{N-1} |c_k|^2 \]La part des \(|c_k|^2\) conservés est l'énergie conservée ; ceux qu'on écarte donnent exactement l'erreur quadratique moyenne aux points échantillonnés.
En trait plein, le contour reconstruit avec les \(K\) plus grands termes de chaque coordonnée ; en gris, les points d'origine. Cliquez sur une vignette pour choisir \(K\).